ఐలర్ సంఖ్య, సాధారణంగా 'e' గా సూచించబడుతుంది, ఇది గణితంలో ఒక ప్రాథమిక స్థిరాంకం, ఇది వివిధ రంగాలలో ముఖ్యమైన పాత్రను పోషిస్తుంది, ఉదాహరణకు కాల్కులస్, సంక్లిష్ట విశ్లేషణ మరియు సంఖ్యా సిద్ధాంతం. ఇది సుమారు 2.71828 కు సమానం, 'e' కేవలం ఒక సంఖ్య కాదు; ఇది ఊర్ధ్వ వృద్ధి మరియు మార్పు యొక్క సారాన్ని వ్యక్తం చేస్తుంది, ఇది గణిత విశ్లేషణలో ఒక కోణీకరమైన అంశంగా ఉంటుంది. 

'e' యొక్క అత్యంత అద్భుతమైన లక్షణాలలో ఒకటి, ఇది నిరంతర వృద్ధి కలిగిన ప్రక్రియలలో స్వాభావికంగా ఏర్పడటం. ఉదాహరణకు, సమ్మేళిత వడ్డీతో వ్యవహరించినప్పుడు, 'e' అనేది n అక్షరానికి శాశ్వతంగా చేరువయ్యే (1 + 1/n)^n యొక్క పరిమితిగా ఉదయం అవుతుంది, ఇది డబ్బు కాలానుకూలంగా ఎలా పెరిగే지를 చూపిస్తుంది. 

ఈ లక్షణం 'e' ను ఆర్థిక గణితంలో కీలక పాత్ర పోషించేలా చేస్తుంది, ఇది సమ్మేళిత వడ్డీని లెక్కించడానికి మరియు పెట్టుబడి వృద్ధిని అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది. కాల్కులస్‌లో, 'e' సహజ లాగరితముల కోసం ఆధారం గా పనిచేస్తుంది, ఇది ఊర్ధ్వ ఫంక్షన్లు మరియు వాటి వ్యుత్పత్తుల మధ్య ప్రత్యేక సంబంధాన్ని అందిస్తుంది. 

ఫంక్షన్ f(x) = e^x ప్రత్యేకంగా ముఖ్యమైనది ఎందుకంటే ఇది తన స్వంత వ్యుత్పత్తి, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క వృద్ధి దశను దాని ప్రస్తుత విలువకు అనుపాతం గా చూపిస్తుంది. ఈ లక్షణం వ్యత్యాస సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో మరియు జనాభా వృద్ధి మరియు రేడియో యాక్టివ్ మార్పు వంటి వాస్తవ ప్రపంచ fenómenos ను నమూనా చేయడంలో అవసరమైనది. 

అదనంగా, 'e' స్వచ్ఛమైన గణిత శాస్త్రపు సరిద్దువుల్ని మించించి వివిధ శాస్త్రీయ శ్రేణులలో అనువర్తనాలను కనుగొంటుంది. భౌతిక శాస్త్రంలో, ఇది శీతలీకరణ ప్రక్రియలు మరియు వాయువుల ప్రవర్తన వంటి ఘటాలను నమూనా చేస్తుంది. గణాంకాలలో, సాధారణ పంపిణీ, ఇది ఊహాత్మక గణాంకాలకు ప్రాథమికంగా ఉంటుంది, 'e' కు సంబంధించి ఉంటుంది. 

ఐలర్ యొక్క గుర్తింపు, e^(iπ) + 1 = 0, అనేక ప్రాథమిక స్థిరాంకాలను లింక్ చేసే ఒక అందమైన సమీకరణ అని పిలువబడుతుంది: e, i (కల్పిత యూనిట్), π (పి), 1, మరియు 0. 

ఈ గుర్తింపు గణితంలో లోతైన సంబంధాలను హైలైట్ చేస్తుంది మరియు వివిధ గణిత రంగాలలో ఏకత్వాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది. సంక్షిప్తంగా చెప్పాలంటే, ఐలర్ సంఖ్య 'e' కేవలం ఒక స్థిరాంకం కాదు; ఇది నిరంతర వృద్ధి సిద్ధాంతాలను ఆవిష్కరించే ఒక ప్రాముఖ్యమైన గణిత సాధనం, ఇది కాల్కులస్ యొక్క వెన్నెముకను ఏర్పరుస్తుంది మరియు వివిధ గణిత మరియు శాస్త్ర రంగాలను అనుసంధానిస్తుంది. దీని ప్రాముఖ్యత గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు శాస్త్రవేత్తలకు మక్కువగా ఉంటుంది.